Израчунавање садашње и будуће вредности ануитета

У неком тренутку свог живота можда ћете морати да извршите низ фиксних плаћања током одређеног временског периода - као што су најамнина или плаћања аутомобила - или сте током одређеног периода примили низ плаћања, као што су камате из обвезница или ЦД-ови. Они се називају ануитети (генеричка употреба речи - да се не меша са конкретним финансијским производом који се назива ануитет, мада су два повезана). Ако разумете временску вредност новца, спремни сте да сазнате о ануитетима и како се израчунавају њихове садашње и будуће вредности.

Шта су ануитети?

Ануитети су у основи серија фиксних плаћања која се траже од вас или вам се плаћају, уз одређену фреквенцију током одређеног временског периода. Учесталости плаћања могу бити годишње, полугодишње (два пута годишње), квартално и месечно. Постоје две основне врсте ануитета: обични ануитети и доспјели ануитети.

• Обични ануитет: Исплате се обавезују на крају сваког периода. На пример, директне обвезнице обично плаћају купоном на крају сваких шест месеци до рока доспећа обвезнице.
• Доспјела ануитета: Плаћања су обавезна на почетку сваког периода. Најам је пример доспјелог ануитета. Обично сте дужни да плаћате најамнину када се прво уселите почетком месеца, а потом првог месеца.

Будући да су садашње и будуће калкулације вредности за редовне ануитете и доспеле ануитете мало другачије, о њима ћемо разговарати одвојено.

Обичне ануитете

Израчун будуће вредности

Ако знате колико можете уложити по неком периоду за одређени временски период, будућа вредност (ФВ) обичне формуле ануитета је корисна за откривање колико бисте имали у будућности. Ако обављате плаћања на зајму, будућа вредност је корисна у одређивању укупних трошкова зајма. Ако знате колико планирате да уложите сваке године и фиксну стопу враћања гаранција за ануитет - или, за кредите, износ плаћања и дато каматну стопу - лако можете одредити вредност свог рачуна у било ком тренутку Будућност.

Идемо сада кроз пример 1. Размотрите следећи распоред готовинског тока ануитета:

Да бисмо израчунали будућу вредност ренте, морамо израчунати будућу вредност сваког новчаног тока. Претпоставимо да примате 1.000 долара сваке године током наредних пет година и инвестирате свако плаћање уз 5% камате. Следећи дијаграм показује колико бисте имали на крају петогодишњег периода:

Будући да морамо да додамо будућу вредност сваке исплате, можда сте приметили да ако имате обичан ануитет са много новчаних токова, требало би дуго времена да се израчунају све будуће вредности, а затим да се сабирају. Срећом, математика пружа формулу која служи као пречица за проналажење акумулиране вредности свих новчаних токова примљених од обичног ануитета:

ФВО уобичајена ануитета = Ц × [(1 + и) н − 1и] где: Ц = Новчани ток по периоди = Камата = Број уплата \ почетак {поравнање} & \ текст {ФВ} _ {\ текст {Обичан ~ ануитет }} = \ тект {Ц} \ тимес \ Биг [\ дфрац {(1 + и) ^ н-1} {и} \ Биг] \\ & \ тектбф {где:} \\ & \ текст {Ц} = \ текст {Новчани ток по периоду} \\ & и = \ текст {Каматна стопа} \\ & н = \ текст {Број исплате} \\ \ крај {поравнано} ФВО редовна ануитета = Ц × [и (1 + и) н − 1] где: Ц = Новчани ток по периоди = Камата = Број уплата

Користећи горњу формулу за пример 1 горе, то је резултат:

ФВОрдинари Аннуити = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ почетак {поравнање} \ текст {ФВ} _ {\ текст {Обичан ~ Аннуитет}} & = \ $ 1000 \ пута \ лево [\ фрац {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ тачно] \\ & = \ $ 1000 \ пута [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ крај {поравнано} ФВОрдинари Аннуити = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = $ 1000 × [5, 53]

Израчунавање садашње вредности

Имајте на уму да је разлика од једног цента између 5.525, 64 и 5.525, 63 долара последица грешке у заокруживању у првом израчуну. Свака вредност првог израчуна мора се заокружити на најближи пени - што више морате заокружити бројеве у прорачуну, вероватније ће се појавити грешке заокруживања. Дакле, горња формула не само да пружа пречицу до проналаска ФВ-а обичног ануитета, већ даје и тачнији резултат.

Садашња вредност ануитета је једноставно тренутна вредност свих прихода остварених том инвестицијом у будућности. Ова рачуница је заснована на концепту временске вредности новца, који каже да сада долар вреди више од долара зарађеног у будућности. Због тога садашњи прорачуни вредности користе број временских периода током којих се приход генерише да би се дисконтирала вредност будућих плаћања.

Ако желите да одредите данашњу вредност будућег серије плаћања, морате да користите формулу која израчунава садашњу вредност (ПВ) обичног ануитета. Ово је формула коју бисте користили као део израчуна цене обвезница. ПВ обични ануитет израчунава садашњу вредност уплата купона које ћете примити у будућности.

За пример 2, користићемо исти распоред готовинског тока ануитета као у примеру 1. Да бисмо добили укупну дисконтирану вредност, потребно је узети садашњу вредност сваке будуће исплате и, као што смо то урадили у примеру 1, додати новчани токови заједно.

Поново, израчунавање и додавање свих ових вредности одузеће вам доста времена, посебно ако очекујемо много будућих плаћања. Иако бројни интернетски калкулатори могу одредити садашњу вредност ануитета, формула за регуларни ануитет није претјерано комплицирана за израчун ако ручно користимо математичку пречицу за ПВ уобичајене ренте.

ПВОрединарна ануност = Ц × [1− (1 + и) −ни] \ текст {ПВ} _ {\ текст {Обичан ~ Аннуитет}} = \ текст {Ц} \ пута \ Велики [\ дфрац {1- (1 + и) ^ {- н}} {и} \ Биг] ПВО уобичајена ануитета = Ц × [и1− (1 + и) −н]

Формула нам пружа ПВ у неколико једноставних корака. Ево израчунавања ануитета приказаног на дијаграму за Пример 2:

ПВОрдинари Аннуити = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) -50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ почетак {поравнање} \ текст {ПВ} _ {\ текст {Обичан ~ Аннуитет}} & = \ $ 1000 \ пута \ Велики [\ дфрац {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Велики] \\ & = \ $ 1000 \ пута [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ крај {поравнано} ПВОрдинари Аннуити = $ 1000 × [0.051− (1 + 0.05) −5] = $ 1000 × [4.33]

Израчун будуће вредности

Када примате или плаћате новчане токове за наплату ануитета, ваш распоред готовинског тока ће се приказати на следећи начин:

С обзиром да се свако плаћање у низу врши једно раздобље пре, морамо да попусте формулу један период уназад. Незнатна измена формуле ФВ-а-оф-ан-ан звычаиног ануитета обрачунава исплате које се догађају на почетку сваког периода. У примјеру 3, илустрирамо зашто је та промена потребна када се свака уплата у износу од 1.000 УСД изврши на почетку периода, а не на крају (каматна стопа је и даље 5%):

Имајте на уму да када се плаћања врше на почетку периода, сваки износ се задржава дуже на крају периода. На пример, ако бисмо 1.000 долара уложили 1. јануара пре 31. децембра сваке године, последња уплата пре него што ценимо нашу инвестицију на крају пет година (31. децембра) била би извршена годину дана пре (1. јануара), а не истог дана када се вреднује. Будућа вредност формуле ренте би гласила:

ФВАннуити Дуе = Ц × [(1 + и) н − 1и] × (1 + и) ФВ _ {\ тект {Аннуити Дуе}} = Ц \ тимес \ лефт [\ фрац {(1 + и) ^ н-1 } {и} \ тачно] \ пута (1 + и) ФВАннуитет због = Ц × [и (1 + и) н − 1] × (1 + и)

Стога

ФВАннуити Дуе = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ почетак {поравнање} ФВ _ {\ тект {Аннуити Дуе}} & = \ $ 1000 \ тимес \ лефт [\ фрац {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ десно] \ пута (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ тимес5, 53 \ тимес1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ енд { поравнано} ФВАннута = = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Аннуити Дуе

Израчунавање садашње вредности

За садашњу вредност формуле која доспева до ануитета, морамо формулу дисконтирати за један период унапред, јер се плаћања одржавају за краћи временски период. Приликом израчунавања садашње вредности претпостављамо да је прва уплата извршена данас.

Могли бисмо да користимо ову формулу за израчунавање садашње вредности ваших будућих исплата закупа како је наведено у закупу који потписујете са својим станодавцем. Рецимо да прво плаћање станарине (види пример 4, доле) направите почетком месеца и процењујете садашњу вредност вашег петомесечног закупа истог дана. Ваша садашња вредност ће радити на следећи начин:

Наравно, можемо да користимо пречицу формуле за израчунавање садашње вредности ануитета:

ПВАннуити Дуе = Ц × [1− (1 + и) −ни] × (1 + и) ПВ _ {\ тект {Аннуити Дуе}} = Ц \ тимес \ лефт [\ фрац {1- (1 + и) ^ {-н}} {и} \ тачно] \ пута (1 + и) ПВАннуити Дуе = Ц × [и1− (1 + и) −н] × (1 + и)

Стога

ПВАннуити Дуе = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50.05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ почетак {поравнано) ПВ _ {\ тект {Аннуити Дуе}} & = \ $ 1000 \ пута \ лево [\ фрац {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ десно] \ пута (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ тимес4.33 \ тимес1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ крај {поравнано} ПВАннуити Дуе = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Подсјетимо да је садашња вриједност обичног ануитета вратила вриједност од 4.329, 48 УСД. Садашња вредност обичног ануитета мања је од ануитета, јер што даље дисконтирамо будућу уплату, нижа је њена садашња вредност - свака уплата или новчани ток у обичном ануитету догађа се још један период у будућност.

Временска вредност новца

Будући израчун вриједности заснован је на концепту вриједности новца у времену. То једноставно значи да долар зарађен данас вреди више од долара зарађеног сутра јер средства која сада контролишете могу уложити и временом зарађивати камату. Стога је будућа вредност ануитета већа од зброја свих ваших улагања, јер су ти доприноси временом зарађивали камате. На пример, будућа вредност од 1000 долара која се данас улаже уз камату од 10% је од 1100 УСД за годину дана од данас. Један долар данас вреди 1, 10 долара годишње због временске вредности новца.

Претпоставимо да годишње плаћате 5.000 УСД на своју редовну ануитету током 15 година. Зарађује 9% камате, сложене годишње.

ФВ = 5.000 $ {(((1 + 0, 09) 15) -1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2.642 ÷ 0, 09 \ почетак {поравнано} ФВ & = \ 5.000 $ \ пута \ {(((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ див 0.09 \} \\ & = \ $ 5.000 \ пута \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ див 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 $ \ пута 2.642 \ див 0, 09 \\ & = \ 5.000 \ пута \ $ 146.804, 58 \ крај {поравнано} ФВ = 5.000 $ {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5.000 × 2.642 ÷ 0, 09

Без снаге која се састоји од камата, ваш серија од 5000 доприноса вреди само 75 000 УСД на крају 15 година. Уместо тога, уз сложене камате, будућа вредност вашег ануитета је готово двоструко већа од 146 804, 58 УСД.

Да бисте израчунали будућу вредност доспјелог ануитета, једноставно помножите уобичајену будућу вриједност са 1+ и (каматна стопа). У горњем примјеру, будућа вриједност ануитета доспијета с истим параметрима је једноставно 146.804, 58 УСД к (1 + 0, 09), односно 160.016, 99 УСД.

Тренутно разматрање вриједности

Приликом израчунавања садашње вредности ануитета важно је да су све променљиве конзистентне. На пример, ако ануитет генерише годишње исплате, каматна стопа се такође мора изразити као годишња стопа. На пример, ако ануитет генерише месечне исплате, каматна стопа се такође мора изразити као месечна стопа.

Претпоставимо да ануитет има 10% каматну стопу која генерише годишње исплате од 3000 УСД у наредних 15 година. Садашња вредност овог ануитета је:

= 3.000 $ × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = 3.000 × × ((1-.239392) ÷ 0.1) = 3.000 $ × (0.760608 ÷ 0.1) = 3.000 × 7.60608 \ почетак {усклађено } & = \ $ 3.000 \ пута (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ див 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ пута ((1 - .239392) \ див 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ пута (0.760608 \ див 0.1) \\ & = \ 3.000 \ пута 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ крај {усклађено} = 3000 УСД × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 $ × ((1 − .239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3, 000 × 7, 60608

Садашња вредност ануитета

Доња граница

Сада можете видети како ануитети утичу на то како рачунате садашњу и будућу вредност било које количине новца. Имајте на уму да су фреквенције плаћања или број плаћања и вријеме извршења тих плаћања (било на почетку или на крају сваког периода плаћања) све варијабле које морате узети у обзир у својим прорачунима.

Када планирате пензионисање, важно је имати добру представу у колики приход можете да се ослоните сваке године. Иако је релативно лако пратити колико улажете у пензионе планове спонзорисане од стране послодаваца, појединачне пензионе рачуне (ИРА) и ануитете, није увек лако знати колико ћете добити. Срећом, када је реч о ануитетима са фиксном стопом или плановима уложеним у хартије од вредности са фиксном каматном стопом, постоји једноставан начин да се израчуна колико новца можете да очекујете на располагању након пензионисања на основу колико уложите на рачун током својих радних година .