Разумевање модела цена биномних опција

Договорити се тачне цене било којег трговачког средства је изазовно - зато се цене акција стално мењају. У стварности, компаније тешко мењају своје процене свакодневно, али цене и процене акција се мењају готово сваке секунде. Ова потешкоћа у постизању консензуса о исправном одређивању цене било које трговачке имовине доводи до краткотрајних арбитражних прилика.

Али много успешног улагања своди се на једноставно питање данашње процене вредности - која је данас права цена за очекивано будуће отплату?

Вредновање биномних опција

На конкурентном тржишту, да би се избегле могућности арбитраже, средства са идентичним структурама отплате морају имати исту цену. Процјена опција је била изазован задатак, а варијације цијена воде до арбитражних прилика. Блацк-Сцхолес остаје један од најпопуларнијих модела који се користи за опције цена, али има ограничења.

Модел одређивања цене биномних опција је још један популаран метод који се користи за опције одређивања цена.

Примери

Претпоставимо да постоји опција позива на одређеној акцији са тренутном тржишном ценом од 100 УСД. Опција „Ат-тхе-монеи“ (АТМ) има штрајк од 100 УСД са временом који истиче до једне године. Постоје два трговца, Петер и Паула, који се слажу да ће цена акција или порасти на 110 долара или пасти на 90 долара за годину дана.

Они се слажу о очекиваним нивоима цена у датом временском оквиру од једне године, али не слажу се са вероватноћом померања према горе или доле. Петер верује да је вероватноћа да цена акција крене до 110 долара 60%, док Паула верује да је 40%.

На основу тога, ко би био спреман да плати више цене за опцију позива? Вероватно и Петер, јер очекује велику вероватноћу успона.

Калкулације биномних опција

Две имовине, од којих процена зависи, су опција позива и основни сталеж. Међу учесницима постоји договор да основна цена акција може прећи са садашњих 100 на 110 или 90 долара у једној години и да није могуће друго кретање цена.

У свету без арбитраже, ако морате да створите портфељ који се састоји од ове две имовине, позива и основног става, тако да без обзира на то где иде основна цена - 110 или 90 долара - нето принос на портфељу увек остаје исти . Претпоставимо да купите „д“ акције основне и кратке опције за један позив да бисте створили овај портфолио.

Ако цена крене на 110 УСД, ваше акције ће бити вредне 110 * д, а изгубићете 10 УСД на исплати за кратки позив. Нето вредност вашег портфеља биће (110д - 10).

Ако цена падне на 90 УСД, ваше акције ће вриједити $ 90 * д, а опција истјече безвриједно. Нето вредност вашег портфеља биће (90д).

Ако желите да вредност вашег портфеља остане иста без обзира на то где иде основна цена акција, тада вредност вашег портфеља треба да остане иста у оба случаја:

х (д) −м = л (д) где је: х = највећа потенцијална основна цена = број основних дионицам = новац изгубљен на исплати за кратки позив = најнижа потенцијална основна цена \ почетак {усклађено} & х (д) - м = л (д) \\ & \ тектбф {где:} \\ & х = \ текст {Највећа потенцијална основна цена} \\ & д = \ текст {Број основних дионица} \\ & м = \ текст {Изгубљени новац на исплати кратким позивима} \\ & л = \ тект {Најнижа потенцијална основна цена} \\ \ крај {усклађено} х (д) −м = л (д) где: х = највећи потенцијални основни ценовни број = број основних дионицам = новац изгубљен кратким позивом паиоффл = Најнижа потенцијална основна цена

Дакле, ако купите половину деоница, под претпоставком да су могуће делите куповине, успећете да створите портфељ тако да његова вредност остане иста у оба могућа стања у датом временском оквиру од једне године.

110д − 10 = 90дд = 12 \ почетак {поравнање} & 110д - 10 = 90д \\ & д = \ фрац {1} {2} \\ \ крај {поравнано} 110д − 10 = 90дд = 21

Вриједност овог портфеља, назначена са (90д) или (110д - 10) = 45, је једна година према доље. Да би се израчунала његова садашња вредност, она се може дисконтирати стопом приноса без ризика (под претпоставком 5%).

Садашња вредност = 90д × е (−5% × 1 година) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ почетак {поравнање} \ текст {Садашња вредност} & = 90д \ пута е ^ {(-5 \% \ пута 1 \ текст {Година})} \\ & = 45 \ пута 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ крај {поравнато} Садашња вредност = 90д × е (−5% × 1 година) = 45 × 0.9523 = 42.85

Будући да се тренутно портфељ састоји од ½ удјела подножја (са тржишном цијеном од 100 УСД) и једним кратким позивом, требао би бити једнак садашњој вриједности.

12 × 100−1 × Цена позива = 42, 85 УСДЦалл цена = 7, 14 УСД, тј. Цена позива од данашњег дана \ почетак {усклађено} & \ фрац {1} {2} \ пута 100 - 1 \ пута \ текст {Цена позива} = \ 42, 85 $ \\ & \ текст {Цена позива} = \ 7, 14 $ \ текст {, тј. Цена позива од данашњег дана} \\ \ крај {поравнато} 21 × 100−1 × Цена позива = 42, 85 долараЦалл цена = 7, 14 УСД, тј. данашња цена позива

Будући да се то заснива на претпоставци да вредност портфеља остаје иста без обзира на који смер основне цене иде, вероватноћа померања према горе или надоле не игра никакву улогу. Портфељ остаје без ризика, без обзира на основне потезе цена.

У оба случаја (претпоставља се да се крећу на 110 УСД и према доле на 90 УСД) ваш портфељ је неутралан према ризику и остварује принос без ризика.

Дакле, и трговци, Петер и Паула, били би спремни платити исте 7, 14 УСД за ову опцију позива, упркос различитој перцепцији вероватноће повећања (60% и 40%). Њихове појединачно уочене вероватноће нису битне за процену опција.

Претпостављајући уместо да су појединачне вероватноће важне, могућности арбитраже су се можда саме представиле. У стварном свету такве могућности арбитраже постоје уз мање разлике у ценама и нестају у кратком року.

Али где је велико хипертибилност у свим овим прорачунима важан и осетљив фактор који утиче на цене опција?

Хлапљивост је већ укључена у природу дефиниције проблема. Под претпоставком да су два (и само два - отуда и назив „биномна“) нивоа цена (110 УСД и 90 УСД), волатилност је подразумевана у овој претпоставци и аутоматски се укључује (10% у било ком случају у овом примеру).

Блацк-Сцхолес

Али да ли је овај приступ исправан и кохерентан са уобичајеним ценама Блацк-Сцхолес-а? Резултати калкулатора опција (љубазношћу ОИЦ-а) уско се поклапају с израчунатом вриједношћу:

Нажалост, стварни свет није тако једноставан као "само две државе". Залиха може достићи неколико нивоа цена пре истека рока.

Да ли је могуће укључити све ове више нивоа у модел биномних цена који је ограничен на само два нивоа ">

Симпле Матх

Да бисте генерализовали овај проблем и решење:

"Кс" је тренутна тржишна цена акције, а "Кс * у" и "Кс * д" су будуће цене за кретања према горе и доле "т" годинама касније. Фактор "у" биће већи од један, јер указује на помицање према горе, а "д" ће лежати између нуле и једног. За горњи пример, у = 1.1 и д = 0.9.

Исплате опције позива су „П _уп “ и „П _дн “ за _{померања} према горе и доле у ​​тренутку истека.

Ако направите портфолио „с“ акција купљених данас и скратите једну опцију позива, после времена „т“:

ВУМ = с × Кс × у −Пупада: ВУМ = Вредност портфеља у случају померања нагоре \ почетак {поравнање} & \ тект {ВУМ} = с \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {горе} \\ & \ тектбф {где:} \\ & \ текст {ВУМ} = \ текст {Вредност портфеља у случају померања нагоре} \\ \ крај {поравнање} ВУМ = с × Кс × у − Пуп где: ВУМ = Вредност портфеља у случају помака нагоре

ВДМ = с × Кс × д −Падајде: ВДМ = Вредност портфеља у случају помицања надоле \ почетак {поравнање} & \ текст {ВДМ} = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле} \\ & \ тектбф {где:} \\ & \ текст {ВДМ} = \ текст {Вредност портфеља у случају померања надоле} \\ \ крај {поравнање} ВДМ = с × Кс × д − Пдовн где: ВДМ = Вредност портфеља у случају пада

За слично вредновање у оба случаја кретања цена:

с × Кс × у − Пуп = с × Кс × д − Пдовнс \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {уп} = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле} с × Кс × у− Пуп = с × Кс × д - Пдовн

с = Пуп − ПдовнКс × (у − д) = Број акција које треба купити за = портфељ без ризика \ почети {поравнање} с & = \ фрац {П_ \ тект {уп} - П_ \ тект {доле} } {Кс \ пута (у - д)} \\ & = \ текст {Број акција које треба купити за} \\ & \ пхантом {=} \ текст {портфељ без ризика} \\ \ крај {усклађени} с = Кс × (у − д) Пуп −Пдовн = Број акција за куповину = портфељ без ризика

Будућа вредност портфеља на крају „т“ година биће:

У случају помицања горе = с × Кс × у-Пуп = Пуп-Пдовну-д × у-Пуп \ старт {усклађено} \ тект {У случају помицања} & = с \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {уп} \\ & = \ фрац {П_ \ текст {горе} - П_ \ текст {доле}} {у - д} \ пута у - П_ \ текст {горе} \\ \ крај {поравнато} У случају Уп Мове = с × Кс × у − Пуп = у − дПуп −Пдовн × у − Пуп

У случају померања надоле = с × Кс × д − Пдовн = Пуп − Пдовну − д × д − Пдовн \ почетак {поравнање} \ тект {У случају померања надоле} & = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле} \\ & = \ фрак {П_ \ текст {горе} - П_ \ текст {доле}} {у - д} \ пута д - П_ \ текст {доле} \\ \ крај {поравнато} У случају Прелазак на доле = с × Кс × д − Пдовн = у − дПуп −Пдовн × д − Пдовн

Данашњу вредност можете добити тако што ћете је дисконтирати са стопом поврата без ризика:

ПВ = е (−рт) × [Пуп − Пдовну − д × у − Пуп] где је: ПВ = Процењивач данашњег дана = Стопа повратника = Време, у годинама \ почетак {поравнање} & \ текст {ПВ} = е (-рт) \ тимес \ лефт [\ фрац {П_ \ тект {уп} - П_ \ тект {довн}} {у - д} \ пута у - П_ \ тект {уп} \ десно] \\ & \ тектбф { где је:} \\ & \ текст {ПВ} = \ текст {вредност данашњег времена} \\ & р = \ текст {стопа приноса} \\ & т = \ текст {Време, у годинама} \\ \ крај {поравнато} ПВ = е (−рт) × [у − дПуп −Пдовн × у − Пуп] где је: ПВ = вредност садашњег дана = стопа повратка = време, у годинама

То би требало да одговара портфељу држања „с“ акција по цени Кс, а вредност кратког позива „ц“ (данашње држање (с * Кс - ц) треба да се изједначи са овом рачуницом.) Решавање за „ц“ коначно даје као што:

Напомена: Ако је премија позива смањена, то би требало да буде додатак портфељу, а не одузимање.

ц = е (−рт) у − д × [(е (−рт) −д) × Пуп + (у − е (−рт)) × Пдовн] ц = \ фрац {е (-рт)} {у - д} \ пута [(е (-рт) - д) \ пута П_ \ текст {уп} + (у - е (-рт)) \ пута П_ \ текст {доле}] ц = у-де (−рт) × [(е (−рт) −д) × Пуп + (у-е (−рт)) × Пдовн]

Други начин за писање једначине је преуређивањем:

Узимање „к“ као:

к = е (−рт) −ду − дк = \ фрац {е (-рт) - д} {у - д} к = у − де (рт) −д

Тада једначина постаје:

ц = е (−рт) × (к × Пуп + (1 − к) × Пдовн) ц = е (-рт) \ пута (к \ пута П_ \ текст {уп} + (1 - к) \ пута П_ \ текст {довн}) ц = е (−рт) × (к × Пуп + (1 − к) × Пдовн)

Преуређивање једначине у смислу „к“ понудило је нову перспективу.

Сада можете протумачити "к" као вероватноћу померања горњег дела горе (јер је "к" повезан са П _уп, а "1-к" је повезан са П _дн ). Свеукупно, једначина представља садашњу опциону цену, дисконтирану вредност њеног исплате по истеку рока.

Овај "К" је другачији

По чему се та вероватноћа „к“ разликује од вероватноће померања према горе или померања доњег дела „>

ВСП = к × Кс × у + (1 − к) × Кс × на другом месту: ВСП = Вредност залиха у времену т \ почетак {поравнање} & \ текст {ВСП} = к \ пута Кс \ пута у + (1 - к) \ пута Кс \ пута д \\ & \ тектбф {где:} \\ & \ текст {ВСП} = \ текст {Вредност цене залиха у тренутку} т \\ \ крај {поравнато} ВСП = к × Кс × у + (1 − к) × Кс × на другом месту: ВСП = Вредност залиха у тренутку т

Замјеном вриједности „к“ и преуређивањем, цијена дионица у тренутку „т“ долази на:

Цена залиха = е (рт) × Кс \ почетак {поравнање} & \ текст {цена залиха} = е (рт) \ пута Кс \\ \ крај {поравнање} Цена залиха = е (рт) × Кс

У овом претпостављеном свету две државе, цена акција једноставно расте по стопи без ризика, тачно попут средства без ризика, и самим тим остаје независна од било ког ризика. Инвеститори су равнодушни према ризику према овом моделу, тако да то представља модел неутралан према ризику.

Вероватноће „к” и „(1-к)” су познате као вероватноће неутралне према ризику и метода вредновања је позната као модел процене неутралан према ризику.

Пример сценарија има један важан захтев - потребна је будућа структура отплате с прецизношћу (ниво 110 и 90 долара). У стварном животу таква јасноћа у погледу степена цена на основу корака није могућа; радије се цена креће насумично и може се подмирити на више нивоа.

Да бисте додатно разширили пример, претпоставите да су могући нивои цена у два корака. Знамо коначне исплате другог корака и данас морамо да вреднујемо опцију (у почетном кораку):

Радећи уназад, проредна процена првог корака (при т = 1) може се извршити коришћењем коначних исплата у другом кораку (т = 2), затим коришћењем ове израчунате процене у првом кораку (т = 1), данашње процене (т = 0) овим прорачунима се може постићи.

Да бисте добили цене опција на броју два, користи се исплата у четири и пет. Да бисте добили цене за број три, користи се исплата у пет и шест. Коначно, израчунати отплати на два и три користе се за добијање цена код броја један.

Имајте на уму да овај пример претпоставља исти фактор за померање према горе (и доле) у оба корака - у и д се примењују на сложени начин.

Радни пример

Претпоставимо да је пут опција са штрајкачком ценом од 110 УСД тренутно у продаји од 100 УСД, а истиче за годину дана. Годишња стопа без ризика је 5%. Очекује се да ће се цена повећавати за 20% и смањивати за 15% сваких шест месеци.

Овде је у = 1, 2 и д = 0, 85, к = 100, т = 0, 5

користећи горе изведену формулу од

к = е (−рт) −ду − дк = \ фрац {е (-рт) - д} {у - д} к = у − де (рт) −д

добијамо к = 0, 35802832

вредност пут опције у тачки 2,

п2 = е (−рт) × (п × Пупуп + (1 − к) Пупдн) где је: п = цена опције ставке \ почетак {поравнано} & п_2 = е (-рт) \ пута (п \ пута П_ \ текст {упуп} + (1 - к) П_ \ тект {упдн}) \\ & \ тектбф {где:} \\ & п = \ текст {Цена опције ставке} \\ \ крај {поравнање} п2 = е (−рт) × (п × Пупуп + (1 − к) Пупдн) где је: п = Цена опције опције

У П _{упуп упингу}, основна вредност ће бити = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 УСД што доводи до П _упуп = зеро

У П _упдн стању, основна вредност ће бити = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 УСД што води до П _упдн = 8 УСД

У условима _{д днн}, основна вредност ће бити = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 УСД што води до П _дндн = _{37, 75} УСД

п ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Слично томе, п ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

п1 = е (−рт) × (к × п2 + (1 − к) п3) п_1 = е (-рт) \ пута (к \ пута п_2 + (1 - к) п_3) п1 = е (−рт) × (к × п2 + (1 − к) п3)

Отуда вредност пут опције, п ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 долара.

Слично томе, биномни модели омогућавају вам да прекинете целокупно трајање опције до даљњег рафинирања више корака и нивоа. Користећи рачунарске програме или прорачунске табеле, можете корак по корак уназад да бисте добили садашњу вредност жељене опције.

Други пример

Претпоставимо да је путна опција европског типа са истеком рока од девет месеци, штрајк цена од 12 долара и тренутна основна цена од 10 долара. Претпоставимо стопу без ризика од 5% за све периоде. Претпоставимо да свака три месеца, основна цена може да се креће за 20% према горе или доле, дајући нам у = 1, 2, д = 0, 8, т = 0, 25 и биномно дрво у три корака.

Црвена означава основне цене, док плава означава исплату понуђених опција.

Невероватна вероватноћа „к“ рачуна на 0, 531446.

Користећи горњу вредност „к“ и вредности отплате за т = девет месеци, одговарајуће вредности на т = шест месеци рачунају се као:

Даље, користећи ове израчунате вредности при т = 6, вредности при т = 3, а затим при т = 0 су:

То даје данашњој вредности пут опције од 2, 18 УСД, што је прилично близу ономе што бисте могли да утврдите користећи Блацк-Сцхолес модел (2, 30 УСД).

Доња граница

Иако употреба рачунарских програма може олакшати ове интензивне калкулације, предвиђање будућих цена остаје главно ограничење биномних модела за одређивање цена на опцијама. Што су временски интервали финији, то је теже предвидјети исплате на крају сваког периода са високом прецизношћу.

Међутим, флексибилност за укључивање промена које се очекују у различитим периодима је плус, што га чини погодним за цене америчких опција, укључујући процене ране вежбе.

Вриједности израчунате помоћу биномног модела уско се подударају с онима израчунатим из других најчешће кориштених модела попут Блацк-Сцхолес-а, што указује на корисност и тачност биномних модела за одређивање цијена опцијама. Модели биномних цена могу се развити у складу са преференцијама трговца и могу радити као алтернатива Блацк-Сцхолес-у.