Стално сложено занимање

Сложена камата је камата обрачуната на почетној главници и на акумулирану камату из претходних периода депозита или зајма. Учинак заинтересованости зависи од учесталости.

Претпоставимо годишњу каматну стопу од 12%. Ако годину започнемо са 100 УСД и сложи се само једном, на крају године главница расте на 112 УСД (100 $ к 1, 12 = 112 $). Ако уместо тога месечно саберемо 1%, на крају године добијамо више од 112 УСД. То јест, 100 УСД к 1, 01 ^ 12 на 112, 68 $. (Већа је јер се чешће састављамо.)

Непрекидно сложен враћа једињење најчешће од свих. Непрекидно сједињење је математичка граница до које се може доћи до интересовања. То је екстремни случај сажимања, јер се већина камата своди на месечној, тромесечној или полугодишњој основи.

Полугодишње стопе поврата

Прво, погледајмо потенцијално збуњујућу конвенцију. На тржишту обвезница мислимо на принос еквивалента обвезнице (или на основу еквивалентне обвезнице). То значи да ако обвезница даје 6% на полугодишњем нивоу, њен принос у еквиваленту обвезнице је 12%.

Слика 1

Полугодишњи принос се једноставно удвостручује. Ово је потенцијално збуњујуће јер ефективни принос везе од 12% еквивалентне приносе износи 12, 36% (тј. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Удвостручавање полугодишњег приноса само је конвенција о именовању обвезница. Стога, ако читамо о 8% обвезници компонованој полугодишње, претпостављамо да се то односи на 4% полугодишњег приноса.

Квартални, месечни и дневни приноси

Сада, разговарајмо о вишим фреквенцијама. И даље претпостављамо 12% годишње тржишне каматне стопе. Према конвенцијама о именовању обвезница, то подразумева 6% полугодишњу стопу сложености. Сада можемо изразити кварталну сложену стопу као функцију тржишне каматне стопе.

Слика 2

С обзиром на годишњу тржишну стопу ( р), квартална сложена стопа ( р _к ) је дата:

Дакле, за наш пример, где је годишња тржишна стопа 12%, квартална сложена стопа износи 11.825%:

Слика 3

Слична логика важи и за месечно сакупљање. Месечна месечна стопа ( р _м ) је овде дата као функција годишње тржишне каматне стопе ( р):

Дневна сложена стопа ( д) као функција тржишне каматне стопе ( р) је дата:

Како континуирано спуштање делује

Слика 4

Ако повећамо фреквенцију једињења до крајњих граница, непрестано се састављамо. Иако то можда није практично, континуирано сложена каматна стопа нуди изузетно погодне некретнине. Испада да континуирано сложена каматна стопа даје:

Лн () је природни дневник и у нашем примеру је континуирано сложена стопа:

До истог места долазимо узимајући природни дневник овог омјера: завршну вриједност подијељену са почетном вриједношћу.

Ово последње је уобичајено за рачунање континуирано сложеног поврата за залихе. На пример, ако залиха скочи са 10 УСД један дан на 11 УСД следећег дана, континуирани сложени дневни поврат даје:

Оно што је тако супер у вези са непрестано сложеним стопама (или повратком) да ћемо означити с р _ц ">

Имајте на уму да је е експоненцијална функција. На пример, ако започнемо са 100 УСД и континуирано комбинујемо 8% током три године, коначно богатство даје:

Дискотирање до садашње вредности (ПВ) је само сложено обрнуто, тако да се садашња вредност будуће вредности (Ф) непрестано компонује брзином ( р _ц ) даје:

На пример, ако ћете примати 100 УСД за три године по стопи од 6%, његова садашња вредност је дата:

Скалирање кроз више периода

Погодно својство континуирано сложеног повратка је то што се скалира током више периода. Ако је принос за први период 4%, а поврат за други период 3%, тада је двомесечни принос 7%. Узмимо у обзир да годину започињемо са 100 УСД, које на крају прве године нарасту на 120 УСД, а на крају друге на 150 УСД. Стално сложени приноси су 18, 23%, односно 22, 31%.

Ако их једноставно саберемо, добићемо 40, 55%. Ово је повратак из два периода:

Технички гледано, континуирани повратак је доследан времену. Временска конзистентност је технички захтев за вредност под ризиком (ВАР). То значи да ако је једнопратни повратак нормално расподијељена случајна варијабла, желимо да се и нормално расподјеле случајне варијабле с више периода. Надаље, вишекратни континуирано сложен поврат нормално се расподјељује (за разлику од, рецимо, простог процентног поврата).

Доња граница

Можемо преформулисати годишње каматне стопе у полугодишње, тромесечне, месечне или дневне каматне стопе (или стопе приноса). Најчешће је мешање континуирано, што захтева да користимо природни дневник и експоненцијалну функцију, која се у финансијама обично користи због својих пожељних својстава - лако се скалира током више периода и време је доследно.