Оптимизирајте свој портфељ користећи нормалну дистрибуцију

Нормална дистрибуција је дистрибуција вероватноће која све своје вредности црта симетрично, при чему се већина резултата налази око средње вероватноће.

Нормална (Белл кривуља) дистрибуција

Скупови података (попут висине од 100 људи, оцене које је добило 45 ученика у разреду итд.) Имају тенденцију да имају многе вредности на истој тачки података или у истом распону. Ова расподјела тачака података назива се нормална или расподјела кривуље звона.

На пример, у групи од 100 појединаца, 10 може бити испод 5 стопа, 65 може стајати између 5 и 5, 5 стопа, а 25 бити изнад 5, 5 стопа. Ова расподјела ограничена на распон може се приказати на сљедећи начин:

Слично томе, тачке података уцртане у графиконе за било који одређени скуп података могу личити на различите врсте дистрибуције. Три најчешћа су лево поравнана, десно поравнана и помешана подела:

Имајте на уму црвену линију тренда у сваком од ових графикона. То отприлике указује на тренд дистрибуције података. Прва, „ЛЕФТ Алиглед Дистрибутед“, указује на то да већина тачака података пада у доњем опсегу. У другом графикону „ПРАВА усклађена дистрибуција“, већина тачака података спада у горњи крај распона, док последња, „Јумблед Дистрибутион“, представља мешовити скуп података без јасног тренда.

Има пуно случајева у којима расподјела тачака података има тенденцију да се креће око централне вриједности, а тај граф приказује савршену нормалну дистрибуцију - једнако уравнотежену на обје стране, с највећим бројем тачака података концентрисаних у центру.

Ево савршеног, нормално дистрибуираног скупа података:

Овде је централна вредност 50 (која има највећи број тачака података), а дистрибуција се равномерно одваја према крајњим крајњим вредностима 0 и 100 (које имају најмањи број тачака података). Нормална дистрибуција је симетрична око централне вредности са половином вредности са сваке стране.

Много примјера из стварног живота одговара дистрибуцији криве звона:

• Баците поштен новчић више пута (рецимо 100 пута или више) и добићете уравнотежену нормалну расподелу глава и репова.
• Крените пар правих коцкица више пута (рецимо 100 пута или више) и резултат ће бити уравнотежена, нормална дистрибуција усредсређена на број 7 и равномерно сужена према крајњим вредностима 2 и 12.
• Висина појединаца у групи значајне величине и обележја које добијају људи из класе следе уобичајене обрасце дистрибуције.
• У финансијама, промене вредности дневника Форек стопе, индекси цијена и цијене акција претпостављају се нормално расподјељују.

Ризик и поврат

Свака инвестиција има два аспекта: ризик и поврат. Улагачи траже најмањи могући ризик за највећи могући поврат. Нормална дистрибуција квантифицира ова два аспекта средњом за поврат и стандардну девијацију за ризик. (За више информација погледајте „Анализа средње варијанце.“)

Средња или очекивана вредност

Посебна средња промена цене акције могла би бити 1, 5% на дневној бази - што значи да у просеку расте за 1, 5%. До ове средње вредности или очекиване вредности која означава поврат може се постићи израчунавањем просека на довољно великом скупу података који садржи историјске дневне промене цена те залихе. Што је већа вредност, то је боље.

Стандардна девијација

Стандардно одступање означава износ за који вредности у просеку одступају од просека. Што је већа стандардна девијација, то је ризичнија инвестиција, јер доводи до више несигурности.

Ево графичког приказа истог:

Дакле, графички приказ нормалне дистрибуције кроз њену средњу и стандардну девијацију омогућава репрезентацију и поврата и ризика у јасно дефинисаном распону.

Помаже да знамо (и будемо сигурни са сигурношћу) да ако неки скуп података следи уобичајени образац дистрибуције, његова средња вредност ће нам омогућити да знамо шта очекујемо, а његово стандардно одступање ће нам омогућити да знамо да око 68% вредности ће бити унутар 1 стандардне девијације, 95% унутар 2 стандардна одступања и 99% вриједности ће пасти унутар 3 стандардна одступања. Скуп података који има средњу вредност 1, 5 и стандардну девијацију 1 много је ризичнији од другог скупа података који има средњу вредност 1, 5 и стандардну девијацију 0, 1.

Познавање ових вредности за сваку изабрану имовину (тј. Акције, обвезнице и фондови) учиниће инвеститора свесним очекиваних приноса и ризика.

Лако је применити овај концепт и представљати ризик и поврат једне појединачне акције, обвезнице или фонда. Али да ли се то може проширити на портфељ више средстава ">

Појединци почињу трговати куповином појединачних акција или обвезница или улагањем у узајамни фонд. Постепено, они имају тенденцију да повећавају своје власништво и купују више акција, фондова или друге имовине, стварајући тако портфељ. У овом инкременталном сценарију, појединци граде свој портфељ без стратегије или много размишљања. Професионални менаџери фондова, трговци и произвођачи тржишта следе систематску методу за изградњу свог портфеља користећи математички приступ назван модерна теорија портфеља (МПТ) који је заснован на концепту „нормалне дистрибуције“.

Савремена теорија портфеља

Савремена теорија портфеља (МПТ) нуди систематски математички приступ који има за циљ да максимизира очекивани поврат портфеља за одређени износ портфељског ризика одабиром пропорција различитих средстава. Алтернативно, такође нуди минимизирање ризика за одређени ниво очекиваног поврата.

Да би се постигао овај циљ, средства која треба да буду укључена у портфељ не би требало бирати само на основу сопствених индивидуалних заслуга, већ уместо тога како ће свака имовина пословати у односу на остала средства у портфељу.

Укратко, МПТ дефинише како најбоље постићи диверзификацију портфеља за најбоље могуће резултате: максимални принос за прихватљив ниво ризика или минималан ризик за жељени ниво приноса.

Грађевни блокови

МПТ је био тако револуционаран концепт када је уведено да су његови изумитељи освојили Племениту награду. Ова теорија је успешно пружила математичку формулу за вођење диверзификације у инвестирању.

Диверзификација је техника управљања ризиком, која уклања ризик „сва јаја у једној корпи“ улагањем у не-корелиране залихе, секторе или класе имовине. У идеалном случају, позитиван учинак једног средства у портфељу поништиће негативне перформансе других средстава.

Да би се узео просечни принос портфеља који има н различита средства, израчунава се пропорционално пондерисана комбинација приноса саставних средстава.

Због природе статистичких израчуна и нормалне дистрибуције, укупни принос портфеља (Р _п ) израчунава се као:

Рп = ∑виРиР_п = \ сум {в_иР_и} Рп = ∑ви Ри

Збир (∑), где је в _и пропорционална тежина имовине и у портфељу, Р _и је поврат (средња вредност) и.

Ризик портфеља (или стандардно одступање) је функција корелације укључених средстава, за све парове имовине (у односу на сваки други у пару).

Због природе статистичких израчуна и нормалне дистрибуције, укупни портфељски ризик (Стд-дев) _п израчунава се као:

(Стд-дев) п = скрт [∑и∑јвивј (стд-дев) и (стд-дев) ј (цор-цофиј)] \ почетак {поравнање} & \ лево (Стд-дев \ десно) _п = \ \ & скрт \ лево [\ сум_и \ сум_ј {в_и} {в_ј} \ лево (стд-дев \ десно) _и \ лево (стд-дев \ десно) _ј \ лево (цор-цоф_ {иј} \ десно) \ десно] \\ \ крај {усклађено} (Стд-дев) п = скрт [и∑ ј∑ ви вј (стд-дев) и (стд-дев) ј (цор-цофиј)] Сігналы абмеркавання

Овде је цор-цоф коефицијент корелације између приноса имовине и и ј, а скрт је квадратни корен.

Ово води рачуна о релативном учинку сваког средства у односу на други.

Иако се ово чини математички сложеним, овде коришћен једноставан концепт укључује не само стандардна одступања појединих средстава, већ и повезана у односу на друго.

Добар пример је доступан са Универзитета у Вашингтону.

Брзи пример МПТ-а

Као мисаони експеримент, замислимо да смо портфељ менаџер којем је додељен капитал и задужен је колико капитала треба да додели двема расположивим средствима (А&Б) како би се очекивани принос повећао, а ризик смањио.

На располагању су нам и следеће вредности:

Р _а = 0, 175

Рб = 0, 055

(Стд-дев) _а = 0, 258

(Стд-дев) _б = 0, 151

(Стд-дев) _аб = -0, 004875

(Цор-цоф) _аб = -0.164

Полазећи од једнаке алокације 50-50 за сваки А&Б средства, Р _п израчунава на 0.115, а (Стд-дев) _п долази на 0.1323. Једноставно упоређивање говори нам да је за овај портфељ имовине 2 принос, као и ризик, на средини између вредности сваке имовине.

Међутим, наш циљ је да побољшамо поврат портфеља изнад просечног просека било које појединачне имовине и да смањимо ризик тако да буде нижи од оног од појединачне имовине.

Узмимо сада позицију расподјеле капитала од 1, 5 у имовини А и -0, 5 позицију расподјеле капитала у имовини Б. (Негативна алокација капитала значи скраћивање примљеног капитала и капитала користи се за куповину вишка друге имовине са позитивном расподјелом капитала. У другим речима, скраћујемо залихе Б за 0, 5 пута капитала и тај новац користимо за куповину акција А за износ од 1, 5 пута капитала.)

Користећи ове вредности, добијамо Р _п као 0, 1604, а (Стд-дев), _п, 0, 4005.

Слично томе, можемо да наставимо са употребом различитих тежина расподјеле за активирање А&Б и долазимо до различитих скупова Рп и (Стд-дев) п. Према жељеном поврату (Рп), може се одабрати најприхватљивији ниво ризика (стд-дев) п. Алтернативно, за жељени ниво ризика, можете одабрати најбољи расположиви поврат портфеља. Било како било, кроз овај математички модел теорије портфеља могуће је остварити циљ стварања ефикасног портфеља са жељеном комбинацијом ризика и поврата.

Употреба аутоматизованих алата омогућава лако и глатко откривање најбољих могућих додељених пропорција, без потребе за дужим ручним прорачунима.

Ефикасна граница, модел одређивања цена капитала (ЦАПМ) и цене имовине помоћу МПТ такође се развијају из истог уобичајеног модела дистрибуције и продужетак су за МПТ.

Изазови МПТ (и основне нормале дистрибуције)

Нажалост, ниједан математички модел није савршен и сваки има неадекватности и ограничења.

Основна претпоставка да повраћај цијена дионица слиједи нормалну дистрибуцију сама се увијек изнова доводи у питање. Постоји довољан емпиријски доказ о случајевима где се вредности не придржавају претпостављене нормалне дистрибуције. Заснивање сложених модела на таквим претпоставкама може довести до резултата са великим одступањима.

Даље у МПТ, прорачуни и претпоставке о коефицијенту корелације и коваријансу који остају фиксни (засновани на историјским подацима) не морају нужно бити истинити за будуће очекиване вредности. На пример, тржиште обвезница и акција показало је савршену корелацију на тржишту Велике Британије од 2001. до 2004. године, где су приноси од обе имовине истовремено падали. У стварности, обрнуто је уочено током дугих историјских периода пре 2001. године.

Понашање инвеститора се не узима у обзир у овом математичком моделу. Порези и трансакциони трошкови се занемарују, иако се претпоставља фракциона расподјела капитала и могућност скраћивања имовине.

У стварности, ниједна од ових претпоставки не може бити тачна, што значи да остварени финансијски приноси могу значајно да се разликују од очекиваног профита.

Доња граница

Математички модели пружају добар механизам за квантификацију неких променљивих са једним, праћеним бројевима. Али због ограничења претпоставки, модели могу пропасти.

Нормална расподјела, која чини основу теорије портфеља, не мора се нужно односити на акције и друге обрасце цијена финансијских средстава. Теорија портфеља сама по себи има пуно претпоставки које би требало критички испитати, пре него што донесете важне финансијске одлуке.